【已知数列an中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2^n-1(n>=3).令bn=2^n-1/an*an+1;Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn】
更新时间：2026-09-30 20:42:10
问题描述:
已知数列an中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2^n-1(n>=3).
令bn=2^n-1/an*an+1;Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn
秦朝斌回答:
Sn+Sn-2=2Sn-1+2^n-1 移项可得 Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2^(n-1) 即 an=an-1+2^(n-1)(n>=3) 所以数列an的通项为 an=a1+2^1+2^2+...+2^(n-1) =a1+2^n-2(n>=3) 此通项可与a1=3,a2=5合并,得到 an=2^n+1 则有 bn=2^n-1/(2^n+1)(2^(n+1)+1) =0.5*[1/(2^n+1)-1/(2^(n+1)+1)] 所以Tn=0.5*[1/3-1/5+1/5-1/9+...+1/(2^n+1)-1/(2^(n+1)+1)]---注意中间项都正负抵消 =0.5*[1/3-1/(2^(n+1)+1)]