【已知f(n)=(2n+7)×3^n+9,是否存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n)?已知f(n)=(2n+7)3^n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n),则最大的m值是多少?并证明你的结论.在使用数学归纳法】
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更新时间：2024-04-26
问题描述：
已知f(n)=(2n+7)×3^n+9,是否存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n)?
已知f(n)=(2n+7)3^n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n),则最大的m值是多少?并证明你的结论.
在使用数学归纳法证明时,最后一步我有点疑问：当n=k+1时,可化出来是：
f(k+1)=3f(k)+18×[3^(k-1)-1]
为什么“3f(k)能被36整除,18×[3^(k-1)-1]能被36整除,就能得出f(k+1)就能被36整除?”它俩不是想家的关系吗?
孟凡茂回答：
当n=1时,f(n)=f(1)=9*3+9=36
当n>1时,f(k+1)-f(k)=[3(2k+9)-(2k+7)]*3^k
=4(k+5)*3^k(可以被36整除）
由于f(1)和任意相邻项之差都可以被36整除,因此,最大的m是36
因为3^(k-1)肯定是奇数,3^(k-1)-1则一定是偶数,18×[3^(k-1)-1]当然是36的倍数了.
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