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证明:∫e-x2dx=根号∏/2积分范围是从0到+无穷亲、
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更新时间:2023-12-06
问题描述:

证明:∫e-x2dx=根号∏/2

积分范围是从0到+无穷亲、

申凤君回答:
  这道题做过很多次了.   给你一个不是很严密的做法,严格做法在同济大学高等数学教材中有(下册二重积分极坐标部分)   设u=∫[-∞,+∞]e^(-t^2)dt   两边平方:下面省略积分限   u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt由于积分可以随便换积分变量   =∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy这样变成一个二重积分   =∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy积分区域为x^2+y^2=R^2R-->+∞   用极坐标   =∫∫e^(-r^2)*rdrdθ   =∫[0-->2π]∫[0-->R]e^(-r^2)*rdrdθ然后R-->+∞取极限   =2π*(1/2)∫[0-->R]e^(-r^2)d(r^2)   =π[1-e^(-R^2)]然后R-->+∞取极限   =π   这样u^2=π,因此u=√π   然后除以2就是你的题了.   本题不严密处在于,化为二重积分时,其实不应该是一个圆形区域,而应该是矩形区域,书上有这个处理方法,利用夹逼准则将圆形区域夹在两个矩形区域之间来解决这个问题.
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